Question

13．三角形的三邊長分別是5cm，12cm，13cm，點P、Q分別為內心和外心，則PQ=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，點P、Q分別為內心和外心，作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D．在Rt△PQF中求出PF、FQ即可解決問題．

解答 解：如圖△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，點P、Q分別為內心和外心，

作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D．
∵AB²+BC²=5²+12²=169，AC²=13²=169，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∵PD=PE=PF，∠B=∠PDB=∠PEB=90°，
∴四邊形PDBE是矩形，
∵PD=PE，
∴四邊形PDBE是正方形，設邊長為a，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AB=$\frac{1}{2}$a•（AB+BC+AC），
∴$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$×a×30，
∴a=2，
∴AD=AF=5-2=3，
∵AQ=QC=6.5，
∴FQ=AQ-AF=3.5，
∴在Rt△PFQ中，PQ=$\sqrt{P{F}^{2}+F{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

點評 本題考查三角形內切圓與內心、勾股定理以及逆定理、三角形的外接圓與圓心等知識，解題的關鍵是熟練應用這些知識解決問題，學會添加輔助線構造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．