Question

20．問(wèn)題再現(xiàn)：
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來(lái)并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．
例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．
證明：將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，如圖1：
這個(gè)圖形的面積可以表示成：
（a+b）²或　a²+2ab+b²
∴（a+b）² =a²+2ab+b²
這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式．
類比解決：
（1）請(qǐng)你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過(guò)程）
問(wèn)題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：1³+2³=3²？
如圖2，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
嘗試解決：
（2）請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過(guò)程，利用圖形的幾何意義確定：1³+2³+3³=6²．（要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過(guò)程）．
（3）問(wèn)題拓廣：
請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．（直接寫出結(jié)論即可，不必寫出解題過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）嘗試解決：如圖：邊長(zhǎng)為a，b的兩個(gè)正方形，邊保持平行，從大正方形中剪去小正方形，剩下的圖形可以分割成2個(gè)長(zhǎng)方形并拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形．根據(jù)第一個(gè)圖形的陰影部分的面積是a²-b²，第二個(gè)圖形的陰影部分的面積是（a+b）（a-b），可以驗(yàn)證平方差公式；
（2）嘗試解決：如圖，A表示一個(gè)1×1的正方形，B、C、D表示2個(gè)2×2的正方形，E、F、G表示3個(gè)3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（1+2+3）的大正方形，根據(jù)大正方形面積的兩種表示方法，可以得出1³+2³+3³=6²；
（3）問(wèn)題拓廣：由上面表示幾何圖形的面積探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）∵如圖，左圖的陰影部分的面積是a²-b²，
右圖的陰影部分的面積是（a+b）（a-b），
∴a²-b²=（a+b）（a-b），
這就驗(yàn)證了平方差公式；


（2）如圖，A表示1個(gè)1×1的正方形，即1×1×1=1³；
B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2=2³；
G與H，E與F和I可以表示3個(gè)3×3的正方形，即3×3×3=3³；
而整個(gè)圖形恰好可以拼成一個(gè)（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：1³+2³+3³=（1+2+3）²=6²；
故答案為：6²；


（3）由上面表示幾何圖形的面積探究可知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．
故答案為：[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)證明一些公式的方法，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．