Question

6．如圖，已知拋物線y=一x²+2x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，拋物線上的點D與點C關(guān)于它的對稱軸對稱．
（1）直接寫出點D的坐標(biāo)和直線AD的解析式；
（2）點E是拋物線上位于直線AD上方的動點，過點E分別作EF∥x軸，EG∥y軸并交直線AD于點F、G，求△EFG周長的最大值；
（3）若點P為y軸上的動點，則在拋物線上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到關(guān)于x的方程，求得方程的解可求得點A和點B的坐標(biāo)，將x=0代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的y值可得到點C的坐標(biāo)，接下來求得拋物線的對稱軸，利用拋物線的對稱性可得到點D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式；
（2）先證明△EFG為等腰直角三角形，則△EFG的周長=（2+$\sqrt{2}$）EG，設(shè)點E的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），G（a，a+1），列出EG與a的函數(shù)關(guān)系式可求得EG的最大值，故此可求得△EFG的周長的最大值；
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，a），點Q的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)平行四邊形的對角互相平分以及線段的中點坐標(biāo)公式可求得x的值，然后將x的值代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的y值，于是可得到點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令y=0得：-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴點D的坐標(biāo)為（2，3）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，將點A和點D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=1．
∴直線AD的解析式為y=x+1．
（2）∵直線AD的解析式為y=x+1，
∴∠DAB=45°．
∴∠EFG=45°．
∴△EFG為等腰直角三角形．
∴△EFG的周長=EF+EG+GF=（2+$\sqrt{2}$）EG．
設(shè)點E的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），G（a，a+1）．
∴EG=-a²+2a+3-（a+1）=-a²+a+2=-（a-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{9}{4}$．
∴EG的最大值為$\frac{9}{4}$．
∴△EFG的周長的最大值=$\frac{9}{4}$×（2+$\sqrt{2}$）=$\frac{9}{2}$+$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，a），點Q的坐標(biāo)為（x，y）
當(dāng)點AD為平行四邊形的對角線時，則$\frac{-1+2}{2}$=$\frac{0+x}{2}$，解得：x=1，
將x=1代入拋物線的解析式得：y=4，
∴點Q的坐標(biāo)為（1，4）．
當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時，$\frac{-1+0}{2}=\frac{x+2}{2}$，解得：x=-3，
將x=-3代入拋物線的解析式得：y=-12，
∴點Q的坐標(biāo)為（-3，-12）．
當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時，$\frac{-1+x}{2}$=$\frac{0+2}{2}$，解得x=3，
將x=3代入拋物線的解析式得：y=0．
∴點Q的坐標(biāo)為（3，0）．
綜上所述，當(dāng)以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，點Q的坐標(biāo)為（1，4）或（-3，-12）或（3，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)，列出EG的長與a的函數(shù)關(guān)系式是解答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)中點坐標(biāo)公式求得點Q的橫坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．