Question

16．如圖，弓形ABC中，∠BAC=60°，BC=2$\sqrt{3}$．若點(diǎn)P在優(yōu)弧BAC上由點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C，記△PBC的內(nèi)心為I，點(diǎn)I隨點(diǎn)P的移動(dòng)所經(jīng)過的路徑長為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{8}{3}$π
• D． 4π

Answer 1

分析 作輔助線，先確定點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，以O(shè)D為半徑的弧CIB長，先求半徑OD的長，再根據(jù)弧長公式求出弧CIB的長為$\frac{4}{3}$π．

解答 解：如圖，將圓補(bǔ)全，過點(diǎn)O作OD⊥BC交⊙O于點(diǎn)D，設(shè)I為△PBC的內(nèi)心連接BI、連接PD、連接BO、連接CO、連接BD、連接CD、連接PB、連接PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵∠PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，△BDO是等邊三角形，
∴BO=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，∠BDC=120°，
∴BD=BO=ID=2，
∴動(dòng)點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I隨點(diǎn)P的移動(dòng)所經(jīng)過的路徑長是：以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧CIB，
弧CIB的長為：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了點(diǎn)的軌跡、圓心角、圓周角定理以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)，本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，得出I的運(yùn)動(dòng)路徑即可解決問題．