Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-（1-m）x+3m經(jīng)過點A（-1，0），且與y軸相交于點B．
（1）求這條拋物線的表達式及點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點C是所求拋物線上一點，線段BC與x軸正半軸相交于點D，如果$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{5}$，求點C的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，聯(lián)結(jié)AC，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入y=x²-（1-m）x+3m得到m=-1，于是得到結(jié)論；
（2）過C作CE⊥x軸于E，則CE∥y軸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{CE}$=$\frac{3}{5}$，得到CE=5，把y=5代入y=x²-2x-3即可得到結(jié)論；
（3）解方程x²-2x-3=0得到x₁=-1，x₂=3，根據(jù)勾股定理得到AC²=（4+1）²+5²=50，DE=$\frac{5}{2}$，DC=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（5+3）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-（1-m）x+3m得：0=（-1）²+（1-m）+3m，
解得：m=-1，
∴拋物線的表達式y(tǒng)=x²-2x-3，當(dāng)x=0時，y=-3，
∴B的坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）過C作CE⊥x軸于E，則CE∥y軸，
∴△BDO∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BO}{CE}$=$\frac{OD}{DE}$，即$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=5，
把y=5代入y=x²-2x-3得：x₁=-2（舍去），x₂=4，
∴C（4，5）；
（3）解方程x²-2x-3=0得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），
∵B（0，-3），C（4，5），
∴AC²=（4+1）²+5²=50，
∵$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{5}$，OD+DE=4，
∴DE=$\frac{5}{2}$，
∴DC=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，BC=$\sqrt{（5+3）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴DC•BC=50，
∴AC²=DC•BC，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△CDA∽△CBA，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CE=AE=5，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=45°．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．