Question

8．如圖在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABOD的兩個頂點B，D分別在x軸，y軸的正半軸上，把含45°的直角三角板的頂點與原點重合，在第一象限內把三角形繞原點任意轉動，其兩邊與正方形兩邊AD、AB交于E、F．
（1）設F（2，m），E（n，2），把△OBF繞點O逆時針旋轉90°到△ODF′，請畫出圖形，并寫出F′的坐標，求EF（用m，n表示）
（2）△AEF的周長為P，當三角板旋轉時，P的值是否發(fā)生變化？請證明你的結論．
（3）連接BD，繼續(xù)轉動三角板，如圖（2），當EF∥BD時，求直線EF的解析式．
（4）如圖（2）OE，OF交BD與G，H，請模仿第（1）小題探究DG，GH，HB三線段的數量關系，只寫結論就可！

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出圖形，根據旋轉的性質和正方形的性質來求點F′的坐標；通過全等三角形△OEF≌△OEF′（SAS）的對應邊相等推知EF=EF′=m+n；
（2）利用（1）中EF的長度和三角形的周長公式求得p=AE+EF+AF=AE+m+n+AF=4為定值；
（3）利用平行線的性質和等腰直角三角形的性質求得點E的坐標，然后利用待定系數法來求直線EF的解析式；
（4）把△OBH繞點O旋轉到△ODK，連接KG，連接KG，則△OBH≌△ODK，利用全等三角形的性質和勾股定理得到

解答 解：（1）如圖1，∵F（2，m），E（n，2），
∴DE=n，BF=m．
∵四邊形ABOD是邊長為2的正方形，
∴OD=OB=2．
∴根據旋轉的性質得到：點F′在線段AD的延長線上，且DF′=BF=m，
∴F′（-m，2）．
根據旋轉的性質得到：△OBF≌△ODF′．
則BF=DF′=m，OF=OF′∠BOF=∠EOD．
∵∠EOF=45°，
∴∠BOF+∠EOD=45°，
∴∠EOF′=45°=∠EOF，
在△OEF與△OEF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OF′}\\{∠EOF=∠EOF′}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△OEF′（SAS），
∴EF=EF′=m+n．

（2）由（1）得到：EF=m+n．
∴p=AE+EF+AF=AE+m+n+AF=2+2=4，
∴P不發(fā)生變化；

（3）易求直線BD的解析式為：y=-x+2．
∵EF∥BD，
∴∠AEF=∠ADB=45°，∠AFE=∠ABD=45°，
∴AE=AF，
∴DE=BF，
∴設AE=AF=2-n，EF=2n，
由等腰三角形三邊關系得：EF=$\sqrt{2}$AE，
∴2n=$\sqrt{2}$（2-n），2n=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$n，
∴$n=\frac{{2\sqrt{2}}}{{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{2}（2-\sqrt{2}）=2\sqrt{2}-2$，
∴E（2$\sqrt{2}$-2，2），
設直線EF的解析式為：y=-x+t．
則2=2-2$\sqrt{2}$+t，
解得 t=2$\sqrt{2}$．
故EF的解析式為：y=-x+2$\sqrt{2}$；

（4）如圖3，把△OBH繞點O旋轉到△ODK，連接K，則△OBH≌△ODK，∠OBH=∠ODK=45°，BH=DK，∠BOH=∠DOK，OH=OK，
∴∠KDG=90°．
在△OGK和△OGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OG}\\{∠KOG=∠GOH=45°}\\{OH=OK}\end{array}\right.$，
∴△OGK≌△OGH（SAS），
∴GH=GK，
∴在直角△KDG中，由勾股定理得到：DK²+DG²=KG²，
∴DG²=BH²+GH²．

點評 本題考查了幾何變換綜合題．其中涉及到了正方形的性質，旋轉的性質，待定系數法求一次函數解析式，等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，此題的綜合性比較強，需要學生對所學的知識有一個系統(tǒng)的掌握．