Question

1．在菱形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AC是對(duì)角線(xiàn)，∠B=60°，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC邊上，且∠EAF=60°，AE與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，AF與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N．
（1）如圖1，若點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)．
①求證：△ACM≌△ACN；
②CM•NC的值是12．
（2）如圖2，若點(diǎn)E為BC邊上的任意點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），請(qǐng)說(shuō)明CM•NC是一個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）①由全等三角形的判定定理ASA證得結(jié)論；
②根據(jù)等腰三角形的判定得到CM=CA=2$\sqrt{3}$，結(jié)合①中全等三角形的性質(zhì)得到CM=CN；
（2）由相似三角形△ACM∽△NCA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到CM•NC=AC²=（2$\sqrt{3}$）²=12，即CM•NC是一個(gè)定值．

解答 （1）①證明，∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∠B=60°，點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)，
∴∠MAC=∠NAC=30°，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ACM=∠ACN=120°．
在△ACM與△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NAC}\\{AC=AC}\\{∠ACM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ACN（ASA）；
②解：∵∠MAC=30°，∠ACM=120°，
∴∠AMC=30°，
∴CM=CA=2$\sqrt{3}$，
∵△ACM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴CM•NC=CM²=12．
故答案是：12；
（2）證明：∵∠EAF=60°，即∠MAC+∠NAC=60°．
又∠ACD=60°，
∴∠MAC+∠AMC=60°，
∴∠AMC=∠NAC．
又∠ACM=∠ACN=120°，
∴△ACM∽△NCA，
∴$\frac{AC}{NC}$=$\frac{CM}{CA}$，
由題意可知，△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴CM•NC=AC²=（2$\sqrt{3}$）²=12，即CM•NC是一個(gè)定值．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．