Question

14．已知，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求證：AD=DC．
（1）如圖1，小明利用圓規(guī)，添加輔助線進(jìn)行證明，以點(diǎn)D為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，連接DE，小明的方法可行嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）請(qǐng)你用與小明不同的方法證明此題．

Answer 1

分析 （1）證出∠BED=∠A，由AAS證明△ABD≌△EBD，即可得出結(jié)論；
（2）作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，證出∠DAM=∠C，由角平分線性質(zhì)得出DM=DN，由AAS證明△ADM≌△CDN，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：小明的方法可行；理由如下：
∵DE=CD，
∴∠DEC=∠C，
∵∠A+J5C=180°，∠BED+∠DEC=180°，
∴∠BED=∠A，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BED}&{\;}\\{∠ABD=∠EBD}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=DE，
∵DE=DC，
∴AD=DC；
（2）證明：作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，如圖所示：
則∠DMA=∠DNC=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°，
∴∠DAM=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴DM=DN，
在△ADM和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DMA=∠DNC}&{\;}\\{∠DAM=∠C}&{\;}\\{DM=DN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=DC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理；熟練掌握角平分線性質(zhì)定理，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．