Question

6．如圖，在在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中點，BC=12，點A坐標(biāo)是（0，4），CD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+9，點P是BC邊上一個動點，
（1）當(dāng)PB=1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（2）在（1）的條件下，點P在BC邊上運動過程中，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則AD=PE，有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當(dāng)P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（2）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形．由（1）知，當(dāng)BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計算一組鄰邊，證明它們相等即可證明是菱形．

解答 解：（1）∵AD∥BC，點A坐標(biāo)是（0，4），CD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+9，
∴OC=9，D點的縱坐標(biāo)為4，D點的橫坐標(biāo)為5，
作DN⊥BC交于N，如圖1所示：
則四邊形OADN為矩形，
∴CN=OC-ON=OC-AD=9-5=4，DF=4，
∴△DFC為等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則AD=PE=5，
有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)BP=1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（2）①當(dāng)BP=1時，此時CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=$\sqrt{D{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$≠AD，故不能構(gòu)成菱形．
②當(dāng)BP′=11時，以點P′、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP′=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，如圖2所示：
由（1）得：DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-（12-4）=3．
∴DP′=$\sqrt{D{N}^{2}+NP{′}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴EP′=DP′，
故此時平行四邊形P′DAE是菱形，
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知識；本題綜合性強，難度較大，需要進(jìn)行分類討論．