Question

8．如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，連接BF、CE，點(diǎn)H、M分別為BF、CE中點(diǎn)
（1）如圖（1）當(dāng)正方形DEFG的邊DE、DG分別在正方形ABCD的DA、DC邊上，猜想MH、CE關(guān)系，并加以證明；
（2）將正方形DEFG旋轉(zhuǎn)至如圖（2）所示的位置，其它條件不變，結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意，猜想：CE=2MH．首先設(shè)N是BE的中點(diǎn)，連接MN、HN，然后根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出NH=$\frac{1}{2}$DE，MN=$\frac{1}{2}$CD，MN⊥NH；最后根據(jù)勾股定理，分別求出MH、CE的大小，判斷出CE=2MH即可．
②猜想MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．首先設(shè)NH所在的直線分別交AD、BC于點(diǎn)P、Q，則PQ⊥AD，PQ⊥BC；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△HPE≌△CQH，即可判斷出HE=CH，再根據(jù)點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，即可判斷出MH⊥CE．
（2）①根據(jù)題意，猜想：CE=2MH．首先設(shè)N是BE的中點(diǎn)，連接MN、HN，作EP∥AD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，然后根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出NH=$\frac{1}{2}$DE，MN=$\frac{1}{2}$CD；最后判斷出∠HNM=∠EDC，即可判斷出△HNM∽△EDC，再根據(jù)相似三角形的相似比，判斷出CE=2MH即可．
②猜想MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．首先延長(zhǎng)NM交CD于J，延長(zhǎng)HM交CD于I，然后根據(jù)△HNM∽△EDC，推得∠NMH=∠DCE，再根據(jù)∠MJC=90°，推得∠CMI=90°，即可判斷出MH⊥CE．

解答 （1）根據(jù)題意，猜想：CE=2MH；
①證明：如圖（1），N是BE的中點(diǎn)，連接MN、HN，，
∵點(diǎn)H、N分別為BF、BE中點(diǎn)，
∴NH∥EF，且$NH=\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}DE$；
∵點(diǎn)M、N分別為CE、BE中點(diǎn)，
∴MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$；
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴MN⊥NH，
∴MH=$\sqrt{{MN}^{2}{+NH}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}CD）}^{2}{+（\frac{1}{2}DE）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{CD}^{2}{+DE}^{2}}$，
又∵$CE=\sqrt{{CD}^{2}{+DE}^{2}}$，
∴CE=2MH．

②猜想MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．
證明：如圖2，NH所在的直線分別交AD、BC于點(diǎn)P、Q，連接HE、CH，，
由①，可得PQ⊥AD，PQ⊥BC，
∴∠HPE=∠CQH，
設(shè)四邊形ABCD和四邊形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a、b，
∵點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，PH∥AB∥EF，
∴PH為梯形EFAB的中位線，點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，
∴PH=$\frac{1}{2}（a+b）$，PE=$\frac{1}{2}$（a-b），
又∵PQ=a，
∴QH=a-$\frac{1}{2}$（a+b）=$\frac{1}{2}（a-b）$，QC=BC-BQ=a-$\frac{1}{2}（a-b）$=$\frac{1}{2}（a+b）$，
∴PE=QH，PH=QC，
在△HPE和△CQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=QH}\\{∠HPE=∠CQH}\\{PH=QC}\end{array}\right.$
∴△HPE≌△CQH，
又∵點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，
∴MH⊥CE，
綜上，可得
MH、CE的數(shù)量關(guān)系為：CE=2MH；MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．

（2）根據(jù)題意，猜想：CE=2MH；
①證明：如圖（3），N是BE的中點(diǎn)，連接MN、HN，作EP∥AD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)H、N分別為BF、BE中點(diǎn)，
∴NH∥EF，且$NH=\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}DE$；
∵點(diǎn)M、N分別為CE、BE中點(diǎn)，
∴MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$；
∵NH∥EF，
∴∠HNB=∠FEB，
∵EP∥AD，MN∥AD，
∴EP∥MN，
∴∠BNM=∠BEP，
∴∠HNB+∠BNM=∠FEB+∠BEP，
即∠HNM=∠FEP，
∵EP∥AD，
∴∠PED=∠EDA，
又∵∠DEF=∠ADC=90°，
∴∠FEP=∠EDC，
又∵∠HNM=∠FEP，
∴∠HNM=∠EDC，
在△HNM和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{NH=\frac{1}{2}DE}\\{∠HNM=∠EDC}\\{MN=\frac{1}{2}CD}\end{array}\right.$，
∴△HNM∽△EDC，
∴$\frac{MH}{CE}=\frac{NH}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴CE=2MH仍然成立．

②猜想MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．
證明：如圖4，延長(zhǎng)NM交CD于J，延長(zhǎng)HM交CD于I，，
由①，可得
△HNM∽△EDC，
∴∠NMH=∠DCE，
又∵∠NMH=∠JMI，
∴∠DCE=∠JMI，
∵GJ⊥CD，
∴∠MJC=90°，
∴∠CMJ+∠DCE=90°，
又∵∠DCE=∠JMI，
∴∠CMJ+∠JMI=90°，
即∠CMI=90°，
∴MH⊥CE，
綜上，可得
MH、CE的數(shù)量關(guān)系為：CE=2MH；MH、CE的位置關(guān)系為：MH⊥CE．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．
（4）此題還考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．