Question

10．先觀察、驗證，再解答后面的問題：
1=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1），2=$\frac{1}{2}$（2×3-1×2），3=$\frac{1}{2}$（3×4-2×3），…，n=$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]．
把上面的n個等式左右兩邊分別相加，得1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n為正整數(shù)．
這樣的方法叫疊加法．類比這種方法，
有：1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
將這三個等式左右兩邊分別相加，得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
解答下列問題：
（1）填空：
①1×2+2×3+…+10×11=440；
②1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$；
（2）計算：1×3+3×5+5×7+…+（2n-1）（2n+1），其中n為正整數(shù)，結(jié)果用n的多項式表示；
（3）證明：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），其中n為正整數(shù)．

Answer 1

分析 分別根據(jù)規(guī)律相加計算即可．

解答 解：（1）①1×2+2×3+…+10×11=$\frac{1}{3}$×10×11×12=110×4=440；
②∵1×2+2×3=$\frac{1}{3}$×2×3×4=8，
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
1×2+2×3+3×4+4×5=$\frac{1}{3}$×4×5×6=40，
…
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），
故答案為：①440；②$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（2）∵1×3=（2×1-1）（2×1+1）=4×1²-1，
3×5=（2×2-1）（2×2+1）=4×2²-1，
5×7=（2×3-1）（2×3+1）=4×3²-1，
…
1×3+3×5+5×7+…+（2n-1）（2n+1），
=4×1²-1+4×2²-1+4×3²-1+…+4×n²-1，
=4×（1²+2²+3²+…+n²）-n，
=4×$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-n，
=$\frac{2}{3}$n（n+1）（2n+1）-n；
（3）∵（n+1）³-n³=3n²+3n+1，
∴當(dāng)n=1時，2³-1³=3×1²+3×1+1，
當(dāng)n=2時，3³-2³=3×2²+3×2+1，
當(dāng)n=3時，4³-3³=3×3²+3×3+1，
…
當(dāng)n=n時，（n+1）³-n³=3n²+3n+1，
把以下的n個等式相加得：（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
所以，3（1²+2²+3²+…+n²）=（n+1）³-（n+1）-3×$\frac{n（n+1）}{2}$，
即：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）．

點評 本題是數(shù)字類的規(guī)律題，此類題要認(rèn)真觀察已知所給的式子，依次的規(guī)律和計算的方法，先觀察、驗證，再解答．