Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D是斜邊AB上任意一點，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是點E、F，點Q是EF的中點，則線段DQ長的最小值等于2.4．

Answer 1

分析 連接CD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：EF=CD，∠EDF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD，當(dāng)CD最小時，則DQ最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CD⊥AB時，則DQ最小，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出DQ的長．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
連接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形EDFC是矩形，
∴EF=CD，∠EDF=90°，
∵點Q是EF的中點，
∴DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD，
當(dāng)CD最小時，則DQ最小，
根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CD⊥AB時，則CD最小，
∴DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{6×8}{10}$=2.4，
故答案為：2.4．

點評 本題考查了勾股定理的運用、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，解題的關(guān)鍵是求DQ的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段CD的最小值．