Question

10．已知∠ACD=90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB=$\sqrt{2}$CB，過程如下：
過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．      
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=$\sqrt{2}$CB．

（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=$\sqrt{2}$時，則CD=2，CB=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=$\sqrt{2}$CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答 解：（1）如圖（2）：AB-BD=$\sqrt{2}$CB．

過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$CB．
如圖（3）：BD-AB=$\sqrt{2}$CB．

證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個的意思并沒有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個圖和第二個圖兩種情況，
若是第1個圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD=$\sqrt{2}$BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=$\sqrt{3}$．
∴CB=$\sqrt{3}$+1
若是第二個圖：過D作DH⊥CB交CB延長線于H．

解法類似上面，CD=2，但是CB=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：2，$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．