Question

20．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E為BC的中點(diǎn)，在對角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長最小，則△PBE的周長的最小值為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 連接BD，與AC的交點(diǎn)即為使△PBE的周長最小的點(diǎn)P；由菱形的性質(zhì)得出∠BPC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出PE=BE，證明△PBE是等邊三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出結(jié)果．

解答 解：連結(jié)DE．
∵BE的長度固定，
∴要使△PBE的周長最小只需要PB+PE的長度最小即可，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小長度為DE的長，
∵菱形ABCD的邊長為2，E為BC的中點(diǎn)，∠DAB=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
又∵菱形ABCD的邊長為2，
∴BD=2，BE=1，DE=$\sqrt{3}$，
∴△PBE的最小周長=DE+BE=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱以及最短路線問題、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．