Question

12．已知在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)C作CE⊥BC于點(diǎn)C，且CE=BD（點(diǎn)E與點(diǎn)A在射線BC同側(cè)），連接AD，ED．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，請直接寫出∠ADE的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，依題意在圖2中補(bǔ)全圖形并判斷（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）在（1）的條件下，ED與AC相交于點(diǎn)P，若AB=2，直接寫出CP的最大值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABD≌△ACE，進(jìn)而得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，即可判斷出△ADE是等腰直角三角形；
（2）直接根據(jù)題意畫出圖形，同（1）的方法即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出PC最大，即可得出AP最小，利用點(diǎn)到直線的距離最小，得出AC⊥DE時，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接AE，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°．
∴∠2=45°．
∴∠B=∠2．
又∵AB=AC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠DAE=∠BAC=90°．
∴△DAE是等腰直角三角形．
∴∠ADE=∠3=45°．

（2）補(bǔ)全圖形，如圖2所示，
結(jié)論成立．
證明：
如圖，連接AE，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠1=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°．
∴∠2=45°．
∴∠B=∠2．  
又∵AB=AC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE． 
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠DAE=∠BAC=90°． 
∴△DAE是等腰直角三角形．
∴∠ADE=∠3=45°．  

（3）由（1）知，△ADE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2，
當(dāng)AP最小時，CP最大，
即：DE⊥AC時，AP最小，
∵∠ADE=45°，∠ACB=45°，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△ADP中，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=1，
∴CP=AC-AP=1． 
即：CP的最大值為1．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，判斷出△ADE是等腰直角三角形，是一道中等難度的中考常考題．