Question

19．設(shè)圓內(nèi)接正三角形面積是S₁，圓內(nèi)接正方形面積是S₂，圓內(nèi)接正六邊形面積是S₃，當(dāng)它們的邊心距相等時(shí)，S₁、S₂、S₃之間的數(shù)量關(guān)系是（　�。�

• A． S₁＞S₂＞S₃
• B． S₂＞S₁＞S₃
• C． S₃＞S₁＞S₂
• D． S₃＞S₂＞S₁

Answer 1

分析 設(shè)正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為r；在正三角形ABC中，作OM⊥AB于M，求出正三角形的面積S₁；在正方形中，作OM⊥AB于M，求出正方形的面積S₂；在正六邊形中，作OM⊥AB于M，求出正六邊形的面積S₃，即可得出結(jié)果．

解答 解：設(shè)正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為r；
在正三角形ABC中，作OM⊥AB于M，連接OA、OB；如圖1所示：
則OM=r，OA=2r，
∴AM=$\sqrt{3}$r，
∴AB=2$\sqrt{3}$r，
∴正三角形的面積S₁=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$r×r=3$\sqrt{3}$r${\;}^{{\;}^{2}}$；
在正方形中，作OM⊥AB于M，連接OA、OB，如圖2所示：
則OM=r，
∴AB=2r，
∴正方形的面積S₂=（2r）²=4r²；
在正六邊形中，作OM⊥AB于M，連接OA、OB，如圖3所示：
則OM=r，AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
∴正六邊形面積是S₃=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r×r=2$\sqrt{3}$r²，
∵3$\sqrt{3}$＞4＞2$\sqrt{3}$，
∴S₁＞S₂＞S₃，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了正多邊形和圓，正三角形、正方形、正六邊形的性質(zhì)以及面積的計(jì)算方法；把正三角形、正方形、正六邊形的面積分別用相等的邊心距表示出來是解題的關(guān)鍵．