Question

20．已知拋物線y=ax²-2ax與直線l：y=ax（a＞0）的交點除了原點外，還相交于另一點A．
（1）分別求出這個拋物線的頂點，點A的坐標（可用含a的式子表示）；
（2）將拋物線y=ax²-2ax沿著x軸對折（旋轉180°）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，當a=1時，求這個“新拋物線”的解析式，并判斷這個“新拋物線”的頂點是否在直線l上．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得這個拋物線的頂點坐標，又由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點坐標為（0，0）、（3，3a），即可求得點A的坐標；
（2）存在．首先求得原拋物線為y=x²-2x，可得新拋物線為y=-x²+2x，直線l：x-y=0．把新拋物線的頂點坐標代入直線l進行驗證即可．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-a），
由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點坐標為（0，0）、（3，3a），
∴A點坐標為（3，3a）；

（2）∴當a=1時，A坐標為（3，3），
∴OA=3$\sqrt{2}$，
∴原拋物線為y=x²-2x，則新拋物線為y=-x²+2x=-（x-1）²+1，其頂點坐標是（1，1）．
把點（1，1）直線l：y=x，得
1=1．
即這個“新拋物線”的頂點在直線l上．

點評 此題考查了二次函數(shù)的頂點坐標的求法，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標問題，以及線段的長的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意解題的關鍵是方程思想的應用．