Question

8．如圖，已知經過點D（2，-$\sqrt{3}$）的拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸交于點A、B（點A位于B的左側），與y軸交于點C．
（1）填空：m的值為$\sqrt{3}$，點A的坐標為（-1，0）；
（2）根據(jù)下列描述，用尺規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：連接AD，在x軸上方作射線AE，使∠BAE=∠BAD，過點D作x軸的垂線交射線AE于點E；
（3）動點M、N分別在射線AB、AE上，求ME+MN的最小值；
（4）l是過點A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點，過點P作l的垂線，垂足為點G，請你探究：是否存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點D坐標代入拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出點A，B坐標；
（2）根據(jù)尺規(guī)作圖的要求，畫出圖形，如圖1所示；
（3）過點D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點M，此時DN的長度即為ME+MN的最小值；
（4）假設存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與△ABD相似，設點P坐標，再表示出點G坐標，計算△ABD的三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷三角形的形狀，即可得出結論，若△ABD是直角三角形，即可得出相似，再得出對應邊成比例，求得點P坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）經過點D（2，-$\sqrt{3}$），
∴m=$\sqrt{3}$，
把m=$\sqrt{3}$代入y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
令y=0，得（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）如圖1所示；
（3）過點D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點M，設DE與x軸交于點H，如圖2，
由（1）（2）得點D與點E關于x軸對稱，
∴MD=ME，
∵AH=3，DH=$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴∠BAD=∠BAE=30°，
∴∠DAN=60°，
∴sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$，
∴sin60°=$\frac{DN}{2\sqrt{3}}$，
∴DN=3，
∵此時DN的長度即為ME+MN的最小值，
∴ME+MN的最小值為3；

（4）假設存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與△ABD相似，如圖3，
∵P是拋物線上一點，
∴設點P坐標（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$）；
∴點G坐標（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
∵A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$）；
∴AB=4，BD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD為直角三角形的形狀，
△ABD與以P、G、A為頂點的三角形相似，
分兩種情況：
當P點在x軸上方時，
①△ABD∽△PAG，
∴$\frac{BD}{AG}$=$\frac{AD}{PG}$，
∴2（x+1）=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
∴P（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；
②△ABD∽△APG，
∴$\frac{BD}{PG}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴2$\sqrt{3}$（x+1）=2（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴P（6，7$\sqrt{3}$）；
當P點在x軸下方時，
①△ABD∽△PAG，
∴$\frac{BD}{AG}$=$\frac{AD}{PG}$，
∴2（x+1）=-2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=2，x₂=-1（舍去），
∴P（2，-$\sqrt{3}$）；
②△ABD∽△APG，
∴$\frac{BD}{PG}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴2$\sqrt{3}$（x+1）=-2（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），
解得x₁=0，x₂=-1（舍去），
∴P（0，-$\sqrt{3}$）；
綜上可得，點P坐標為（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），（6，7$\sqrt{3}$），（2，-$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，還考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理和逆定理以及軸對稱-最小路徑問題等重要知識點，難度較大．