Question

16．在△ABC中，∠A=90，AB=2，AC=4，O是AC的中點且當⊙O與邊BC只有一個公共點時，⊙O的半徑R的取值范圍是R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出BC=2$\sqrt{5}$，再利用面積法計算出AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，當R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$時，⊙O與邊BC只有一個公共點．

解答 解：如圖，過A作AD⊥BC于D，OE⊥BC于E，連接BO，
∴AD∥OE，
∵∠A=90°，AB=2，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵O是AC的中點，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=2，∵AD∥OE，
∴OE=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=AO=2，
∴BO=2$\sqrt{2}$，
∴當R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$時，⊙O與邊BC只有一個公共點，
∴⊙O的半徑R的取值范圍是：R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．
故答案為：R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個公共點即可．