Question

4．正方形ABCD中，E為CD中點(diǎn)，BF⊥AE于F，M為CF上一點(diǎn)，將△BMF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△GNF，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N點(diǎn)恰好在AB邊上，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好在線段EA的延長(zhǎng)線上．若CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則DG的長(zhǎng)為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作FH⊥DE于H，F(xiàn)Q⊥AD于Q，連結(jié)BD、FD，如圖，先證明△AFQ∽△AED，得到$\frac{AQ}{QF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，設(shè)QF=x，則AQ=2x，AF=$\sqrt{5}$x，DH=x，再證△ABF∽△EAD，利用相似比得到$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，則BF=2AF=2$\sqrt{5}$x，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=5x，則AD=AB=5x，DE=$\frac{5}{2}$x，DQ=3x，CH=4x，于是在Rt△CFH中利用勾股定理可得CF=5x，所以CF=CD=BC，接著證明NA=NB=FN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)得FM=FN=$\frac{5}{2}$x，F(xiàn)G=FB=2$\sqrt{5}$x，所以CM=5x-$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可解得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則BC=5x=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{10}$，最后證明△BFD≌△GFD，得到GD=BD=$\sqrt{10}$．

解答 解：作FH⊥DE于H，F(xiàn)Q⊥AD于Q，連結(jié)BD、FD，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
∴AD=2DE，
∵FQ∥DE，
∴△AFQ∽△AED，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QF}{DE}$，
∴$\frac{AQ}{QF}$=2，
設(shè)QF=x，則AQ=2x，AF=$\sqrt{5}$x，DH=x，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
而∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∴△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{AF}{DE}$，即$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，
∴BF=2AF=2$\sqrt{5}$x，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}x）^{2}+（2\sqrt{5}x）^{2}}$=5x，
∴AD=AB=5x，DE=$\frac{5}{2}$x，
∴DQ=5x-2x=3x，CH=5x-x=4x，
在Rt△CFH中，∵FH=DQ=3x，CH=4x，
∴CF=5x，
∴CF=CD=BC，
∴∠CBF=∠CFB，
∴NB=NF，
而∠ABF+∠BAF=90°，∠AFN+∠NFB=90°，
∴∠BAF=∠AFN，
∴NA=NF，
∴NA=NB=FN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵△BMF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△GNF，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N點(diǎn)恰好在AB邊上，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好在線段EA的延長(zhǎng)線上，
∴FM=FN=$\frac{5}{2}$x，F(xiàn)G=FB=2$\sqrt{5}$x，
∴CM=5x-$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=5x=$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{10}$，
∵CD=CF，
∴∠FDC=∠CFD，
而∠FED=∠CBF，
∵CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB，
∴∠BFD=∠CFB+∠CFD=∠FED+∠FDC，
而∠GFD=∠FDE+∠FED，
∴∠BFD=∠GFD，
在△BFD和△GFD中
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FG}\\{∠BFD=∠GFD}\\{FD=FD}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△GFD，
∴GD=BD=$\sqrt{10}$．
故答案為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)．