Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，
（1）AB=12；
（2）設點D在AB邊上，點E是AC邊上一點（不與點A、C重合），若DB=DE，則BD的取值范圍是4≤BD＜6．

Answer 1

分析 （1）根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出AB=2BC=12；
（2）以D為圓心，DB的長為半徑畫圓，當圓與AC相切時，BD最小，與線段AC相交且交點為A或C時，BD最大，分別求出即可得到范圍．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12；

（2）以D為圓心，BD的長為半徑畫圓．
①如圖1，當圓與AC相切時，DE⊥AC時，
∵∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵AB=12，
∴BD=4；
②如圖2，當圓與AC相交時，若交點為A或C，則BD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴BD的取值范圍是4≤BD＜6．
故答案為4≤BD＜6．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了垂線的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，利用邊AC與圓的位置關系解答，分清BD最小和最大的兩種情況是解決（2）小題的關鍵．