Question

18．如圖，已知⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PO平分∠APD，求證：AB=CD．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OD、OP，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE=OF，則利用勾股定理可得AE=DF，再根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CF=DF，于是有AB=CD．

解答 證明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OD、OP，如圖，
∵PO平分∠APD，
∴OE=OF，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$，
而OA=OD，
∴AE=DF，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．本題的關(guān)鍵是作AB和CD的弦心距．