Question

10．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點(diǎn)，將E點(diǎn)對(duì)折到直徑AB上（EE′⊥AB），當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則折痕CD的長(zhǎng)度取值范圍是2$\sqrt{3}$≤CD＜4．

Answer 1

分析 由題意可知：當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)則被折的圓弧與直徑AB相切時(shí)折痕CD的長(zhǎng)度最短，當(dāng)CD和直徑重合時(shí)，折痕CD最長(zhǎng)，由此即可折痕CD的長(zhǎng)度取值范圍．

解答 解：當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)則被折的圓弧與直徑AB相切時(shí)折痕CD的長(zhǎng)度最短，如圖所示：
連接OD，
∵EH=OH=$\frac{1}{2}$OE=1，OD=2，
∴DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵OH⊥DC，
∴DH=CH，
∴CD=2DH=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)CD和直徑AB重合時(shí)，折痕CD最長(zhǎng)，所以CD=4，
又因?yàn)橐�保證被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)，所以CD不能取到4，即CD＜4，
綜上可知2$\sqrt{3}$≤CD＜4，
故答案為：2$\sqrt{3}$≤CD＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)有：垂徑定理、勾股定理，切線(xiàn)的性質(zhì)定理以及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到CD最短和最長(zhǎng)時(shí)的位置．