Question

2．如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE垂直DB于點E，點O在AB上，圓O是△BDE的外接圓，交BC于點F，連接EF，求EF：AC的值．

Answer 1

分析 連接OD，先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由角平分線的性質(zhì)得出∠ODB=∠DBC，故OD∥BC．△AOD∽△ABC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出r的值，再由圓周角定理得出∠BFE=90°，故EF∥AC，△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：連接OD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{12}^{2}+{9}^{2}}$=15．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC．
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{r}{9}$=$\frac{15-r}{15}$，解得r=$\frac{45}{8}$，BE=$\frac{45}{4}$．
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BFE=90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{45}{4}}{15}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．