Question

15．定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱該三角形為“特別三角形”．
如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，P為BC邊上的任意一點(diǎn)（不與B，C重合），DC邊上的點(diǎn)Q與P點(diǎn)關(guān)于AC對稱，AP與BD交于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F．
（1）給定條件：①AP平分∠BAC，②BP：AB=$\sqrt{3}$：2；結(jié)論：①Rt△ABP為“特別三角形”，②AE=2BF．請從中各選一個條件和結(jié)論，組成兩個正確的命題，并證明其中一個命題；
（2）設(shè)BP=m，PC=n，若△APQ是“特別三角形”，試求$\frac{m}{n}$的值；
（3）若正方形ABCD的邊長為4cm，一動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AP，PC運(yùn)動至C點(diǎn)停止，在線段AP上的速度為1cm/s，在線段PC上的速度為2cm/s，則點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中最少用時多少秒？

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長BF交AC于點(diǎn)G，易證△AOE≌△BOG，BG=AE，易證△ABG為等腰三角形，由于AP平分∠BAC，所以AE=BG=2BF；
（2）如圖2，設(shè)AC與PQ交于點(diǎn)N，正方形邊長為a，延長AB交QP的延長線于點(diǎn)K，由于點(diǎn)Q，P關(guān)于直線AC對稱，得到PC=CQ，∠ACP=∠ACQ=45°，∠ANK=∠CNP=90°，AP=AQ，PN=QN，所以∠CAB=∠ACP，∠K=45°△ANK∽△CNP．BK=BP=m，于是得到結(jié)論$\frac{AN}{CN}=\frac{AK}{CP}=\frac{AB+BK}{CP}=\frac{a+m}{n}=\frac{2m+n}{n}$；
（3）設(shè)運(yùn)動時間為t，則t=AP+$\frac{1}{2}$PC，如圖4，取∠BCN’=30°，交AB延長線于點(diǎn)N′，作PG′⊥N′C，于是得到$\frac{1}{2}$PC=PN′，t=AP+PG′，當(dāng)A，P，G′在一直線，即AP⊥NC時t最小，如圖AH′⊥N′C，交BC于P′，點(diǎn)P在點(diǎn)P′位置時t最小，由∠BCN′=30°得BN′=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$由∠N′=60°，得到最小t=AH′=$2（\sqrt{3}+1）$，得到結(jié)論：運(yùn)動一周的最少用時為 $2（\sqrt{3}+1）$秒．

解答 解（1）命題1：若AP平分∠BAC，則AE=2BF，
命題2：若BP：AB=$\sqrt{3}$：2，則Rt△ABP為“特別三角形”，
證明：如圖1，延長BF交AC于點(diǎn)G，
在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，
∴AO=BO，∠AOB=∠BOC，
∵∠OAE+∠AEO=∠EBF+∠BEF=90°，∠AEO=∠BEO
∴∠EAO=∠EBF，
在△AOB與△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BOC}\\{AO=BO}\\{∠AEO=∠BEO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴BG=AE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵∠BAP=∠BAC-∠PAC，∠CBG=∠CBO-∠GBO，
∴∠BAP=∠OBG，
∴∠ABO+∠OBG=∠ACB+∠GBC，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG
∵AP平分∠BAC，
∴AE=BG=2BF，
證明2：取AB中點(diǎn)H，連接PH．
∵BP：AB=$\sqrt{3}$：2，
設(shè)AB=2x，BP=$\sqrt{3}$x，
∵∠ABP=90°，BH=x，
∴PH=2x，
∴PH=AB，
∴Rt△ABP為“特別三角形”；

（2）如圖2，設(shè)AC與PQ交于點(diǎn)N，正方形邊長為a，
延長AB交QP的延長線于點(diǎn)K，
∵點(diǎn)Q，P關(guān)于直線AC對稱，
∴PC=CQ，∠ACP=∠ACQ=45°，∠ANK=∠CNP=90°，
AP=AQ，PN=QN，
∴∠CAB=∠ACP，∠K=45°，
∴△ANK∽△CNP，BK=BP=m，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{AK}{CP}=\frac{AB+BK}{CP}=\frac{a+m}{n}=\frac{2m+n}{n}$，
①當(dāng)?shù)妊�△APQ中底邊PQ與它的中線AN相等，即AN=PQ時，
PN=CN=$\frac{1}{2}$AN$\frac{AN}{CN}=\frac{2m+n}{n}=2$，∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，
②如圖3當(dāng)?shù)妊�△APQ中腰AP與它的中線QR相等，即AP=QR=AQ時，
作QT⊥AP于T，
∴RT=AT=$\frac{1}{2}$AR=$\frac{1}{4}$AP，
設(shè)RT=x，
∴AQ=AP=4x，
∴QT=$\sqrt{15}$x，PQ=$2\sqrt{6}$x，
∴PN=CN=$\sqrt{6}$x，
∵AP•QT=PQ•AN，
∴AN=$\sqrt{10}$x，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{2m+n}{n}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{{\sqrt{15}-3}}{6}$；

（3）設(shè)運(yùn)動時間為t，則t=AP+$\frac{1}{2}$PC
如圖4，取∠BCN′=30°，交AB延長線于點(diǎn)N′，作PG′⊥N′C，
∴$\frac{1}{2}$PC=PG′，
∴t=AP+PG′，
∴當(dāng)A、P、G′在一直線，即AP⊥NC時t最小，
如圖AH′⊥N′C交BC于P′，點(diǎn)P在點(diǎn)P′位置時t最小，
∴由∠BCN′=30°得BN′=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，由∠N′=60°得最小t=AH′=$2（\sqrt{3}+1）$，
∴運(yùn)動一周的最少用時為 $2（\sqrt{3}+1）$秒．

點(diǎn)評 本題主要考查了最短路線問題，考查軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用等知識點(diǎn)．