Question

9．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延長BC到D，使BD=BA，BE⊥AD于點E，交AC于點F．
（1）求證：BF=2AE；
（2）若CD=1，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由BD=BA，BE⊥AD就可以得出AD=2AE．再根據(jù)條件證明△ACD≌△BCF就可以得出AD=BF，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）設(shè)BD=x，則BC=AC=x-1，在Rt△ACD中由勾股定理求出x的值即可．

解答 解：（1）∵BD=BA，BE⊥AD，
∴AD=2AE．∠BED=90°．
∴∠D+∠DBE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ACB．∠D+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠DBE．
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠DBE}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠ACB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，
∴BF=2AE；
（2）設(shè)BD=x，則BC=AC=x-1，由勾股定理，得
2（x-1）²=x²，
解得：x=2±$\sqrt{2}$．
∵x-1≥0，
∴x≥1．
∴x=2+$\sqrt{2}$．
∴AC=2+$\sqrt{2}$-1=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用．解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．