Question

11．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．
（1）動手操作：利用尺規(guī)作以BC為直徑的⊙O，⊙O交AB于點(diǎn)D，⊙O交AC于點(diǎn)E，并且過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F．
（2）求證：直線DF是⊙O的切線；
（3）連接DE，記△ADE的面積為S₁，四邊形DECB的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ODB根據(jù)平行線的判定得到OD∥AC，由平行線的性質(zhì)得到∠ODF=∠AFD=90°，于是得到結(jié)論；
（3）連接DE；根據(jù)圓周角定理得到∠CDB=90°，即CD⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)得到AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=6，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BDE+∠C=180°，等量代換得到∠C=∠ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AC}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如右圖所示，圖形為所求；

（2）證明：連接OD
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠A=∠ODB
∴OD∥AC，
∴∠ODF=∠AFD=90°，
∴直線DF是⊙O的切線；

（3）連接DE；
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵四邊形DECB是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDE+∠C=180°，
∵∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠C=∠ADE，
∵在△ADE和△ACB中，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{9}{25}$，
∵S_△ABC=S_△ADE+S_{四邊形DECB}，
∴$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{{S}_{△ADE}+{S}_{四邊形DECB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{25}{9}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形DECB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{16}{9}$，即$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，基本作圖，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．