Question

17．如圖，點(diǎn)A是函數(shù)$y=\frac{a}{x}（a＞0）$的圖象在第一象限內(nèi)分支上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作OB⊥OA，交函數(shù)$y=-\frac{a}{x}（a＞0）$的圖象在第二象限內(nèi)分支于點(diǎn)B．點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°時，求：
①點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②△AOB的面積S_△AOB；
（2）當(dāng)a=1，tan∠AOC=k（k＞0）時，求∠ABO的大小．

Answer 1

分析 （1）①過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，求出A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；
②過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，OB⊥OA，求出OB、OA的長，從而求出△AOB的面積；
（2）分別過點(diǎn)A、B作AF⊥x軸、BE⊥x軸，判斷出△BOE∽△OAF，從而得到$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OE}{AF}$；設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{1}{n}$），求出mn=$\frac{1}{mn}$，mn=1，從而得到tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$；根據(jù)△BOE∽△OAF，得到$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{BE}$=$\frac{1}{mn}$=1，從而有tan∠OBA=1，即可得到∠ABO=45°的值．

解答 解：（1）①如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，
∴設(shè)FO=x，則AF=$\sqrt{3}$x，
故x•$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1（負(fù)數(shù)舍去），
則FO=1，AF=$\sqrt{3}$，
∴AO=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，$\sqrt{3}$）．

②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，OB⊥OA，
∴∠BOE=30°，
∴設(shè)BE=x，則EO=$\sqrt{3}$x，
∴x•$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1，
∴BE=1，BO=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
又∵AO=2，
∴△AOB的面積S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（2）如圖，分別過點(diǎn)A、B作AF⊥x軸、BE⊥x軸；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOF=∠AOF+∠OAN=90°，
∴∠BOE=∠OAF，
∵∠BEO=∠AFO=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OE}{AF}$；
設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{1}{n}$），
則BE=$\frac{1}{m}$，AF=$\frac{1}{n}$，OE=m，OF=n，
∴mn=$\frac{1}{mn}$，mn=1；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$①；
∵△BOE∽△OAF，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{BE}$=$\frac{1}{mn}$=1②，
由①②知，tan∠OBA=1，
∴∠ABO=45°．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及特殊角的三角函數(shù)值、點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角心扉的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，要認(rèn)真解答．