Question

10．如圖，射線QP與等邊△ABC的兩邊AB．AC分別交于點(diǎn)M．N，且BC∥QP，AM=MB=2，QP=8，將等邊△ABC從如圖位置（點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合）沿射線QP以1cm/s的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t（s），以點(diǎn)P為圓心，$\sqrt{3}$cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值t=4或5≤t≤9或t=10．．

Answer 1

分析 求出AB=AC=BC=4cm，MN=$\frac{1}{2}$BC=2cm，∠AMN=∠ANM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結(jié)合圖形求出即可；

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥BC，AM=BM．
∴N為AC中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=2，∠AMN=∠ANM=∠C=∠A=60°，PN=6，
分為三種情況：
①如圖1，

當(dāng)⊙P切AC于D時(shí)，連接PD，
則PD=$\sqrt{3}$，∠PDN=90°，
∵∠PND=∠ANM=60°，
∴DN=1，PN=2ND=2，
∴PM=4，
∴三角形移動(dòng)的距離=6-2=4，
即t=4；

②如圖2，
當(dāng)⊙P于BC切于C點(diǎn)時(shí)，連接PC，
則∠BCP=∠CPM=90°，∠PC=∠ANM=60°，CP=$\sqrt{3}$，
∴PN=1，
∴三角形移動(dòng)的距離=6-1=5，
即t=5，
當(dāng)⊙P于BC切于B點(diǎn)時(shí)，連接PB，
則∠PBC=∠BPM=90°，∠PMB=∠AMN=60°，PB=$\sqrt{3}$，
∴PM=1，
∴三角形移動(dòng)的距離=4cm+2cm+1cm=9，
∴t=9，
即當(dāng)5≤t≤9時(shí)，⊙P和BC邊相切；

③如圖3，
當(dāng)⊙P切AB于E時(shí)，連接PE
則PE=$\sqrt{3}$cm，∠PEM=90°，
∵∠PME=∠AMN=60°，
∴ME=1cm，PM=2，
∴三角形移動(dòng)的距離=6+2+2=10，
即t=10；
注意：由于對(duì)稱性可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB右側(cè)時(shí)也存在⊙P切AB，此時(shí)PM也是為2，即P點(diǎn)為N點(diǎn)，同理可得P點(diǎn)在N點(diǎn)時(shí)，⊙P切BC．這兩點(diǎn)都在第二種情況運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)．
故答案為：t=4或5≤t≤9或t=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，注意要進(jìn)行分類討論�。�