Question

14．如圖，正方形OPMN和正方形ABCD全等，AC與BD交于點(diǎn)O，正方形0PNM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，0M交AB于點(diǎn)E，OP交BC于F，如果正方形的邊長(zhǎng)為3，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OE與0F有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形OEBF的面積有何變化？請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用ASA即可證明△AOE≌△BOF，從而可知S_{四邊形OEBF}=S_△AOB=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．可以得到在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中四邊形OEBF的面積不變化．

解答 OE=OF，四邊形OEBF的面積不變．
證明：∵∠AOE+∠BOE=90°，∠MOP=90°，
∴∠BOF=∠AOE，
在△OAE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBF=45°}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF．OE=OF，
∴S_△AOE+S_△OBE=S_△BOF+S_△OBE，
即S_△AOB=S_{四邊形OEBF}，
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{AB}{\sqrt{2}}$×$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$×3²=$\frac{9}{4}$，
∴S_{四邊形OEBF}=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，求解時(shí)需抓住正方形的特征，找出△AOE與△BOF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的對(duì)稱性，獲得四邊形OEBF的面積與正方形面積的關(guān)系，關(guān)鍵是將四邊形OEBF的面積轉(zhuǎn)化為△OAB的面積．