Question

5．如圖，矩形DEFG內(nèi)接于△ABC，AH⊥BC，DG與AH相交于點K，BC=48，高AH=16．
（1）設AK的長為x，矩形DEFG的周長為C，面積為S，分別求出C=f（x）與S=g（x）的解析式；
（2）內(nèi)接矩形DEFG的長和寬是否可能都大于10？如果可能，那么請說明如何作出這樣的矩形．

Answer 1

分析 （1）證明△ADG∽△ABC，利用相似比可計算出DG=3x，則根據(jù)矩形的周長定義可用x表示出C，利用矩形面積公式可用x表示S；
（2）由于由3x＞10且16-x＞10得到$\frac{10}{3}$＜x＜6，則可判斷內(nèi)接矩形DEFG的長和寬可能都大于10，當$\frac{10}{3}$＜x＜6時，在AH上截取AK=x，再過K點作BC的平行線可確定內(nèi)接矩形的兩個頂點，然后過這兩個頂點作BC的垂線即可得到內(nèi)接矩形．

解答 解：（1）AK=x，則KH=DK=16-x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AK}{AH}$，即$\frac{DG}{48}$=$\frac{x}{16}$，DG=3x，
∴C=2（DE+DG）=2（16-x+3x）=4x+32，
S=DG•DE=3x•（16-x）=-3x²+48x；
（2）∵3x＞10且16-x＞10，
∴$\frac{10}{3}$＜x＜6，
∴內(nèi)接矩形DEFG的長和寬可能都大于10，
當$\frac{10}{3}$＜x＜6時，在AH上截取AK=x，再過K點作BC的平行線分別交AB、AC于D、G兩點，然后分別作DE⊥BC于E，GF⊥BC于F，則四邊形DEFG為所作．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運用相似三角形的性質(zhì)時，只有運用對應角相等，對應邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)．