Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個動點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)C點(diǎn)在x軸上運(yùn)動時，設(shè)AC=x，請用x表示線段AD的長；
（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式．
（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn)F，
①當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動到何處時直線EF∥直線BO？此時⊙F和直線BO的位置關(guān)系如何？請說明理由．
②G為CD與⊙F的交點(diǎn)，H為直線DF上的一個動點(diǎn)，連結(jié)HG、HC，求HG+HC的最小值，并將此最小值用x表示．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠OBA與∠DBC的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠OBC=∠ABD，根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到對應(yīng)邊AD與OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠BAD=∠BOC=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠BAO=60°，根據(jù)平角定義及對頂角相等，可得∠OAE=60°，根據(jù)tan60°的定義求出OE的長，確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，將點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式；
（3）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得EF與EA重合，根據(jù)三角形的中位線，可得A為OC中點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得C的坐標(biāo)；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得DF⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得BF與OB垂直，根據(jù)切線的判定，可得答案；
②根據(jù)等邊三角形的“三線合一”，可得DF垂直平分BC，根據(jù)軸對稱的性呢，可得GB為HC+HG的最小值，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得FB，F(xiàn)C及FG相等，根據(jù)直角三角形的判定，可得△BCG為直角三角形；根據(jù)“三線合一”，可得∠CBG為30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得BG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得BM及AM，根據(jù)勾股定理表示出BC的長即可．

解答 解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴AD=OC=1+x；
（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=$\frac{DE}{OA}$，則OE=$\sqrt{3}$，
點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{3}$），A（1，0），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以直線AE的解析式為y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；
（3）①根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示1：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，則EF與EA所在的直線重合，
∴點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，
又F為BC中點(diǎn)，
∴A為OC中點(diǎn)，又AO=1，則OC=2，
∴當(dāng)C的坐標(biāo)為（2，0）時，EF∥OB；
這時直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直線BO與⊙F相切；
②根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
，
由點(diǎn)B，點(diǎn)C及點(diǎn)G在圓F的圓周上得：FB=FC=FG，即FG=$\frac{1}{2}$BC，
∴△CBG為直角三角形，又△BCD為等邊三角形，
∴BG為∠CBD的平分線，即∠CBG=30°，
過點(diǎn)B作x軸的垂直，交x軸于點(diǎn)M，由△OAB為等邊三角形，
∴M為OA中點(diǎn)，即MA=$\frac{1}{2}$，BM=3$\sqrt{2}$，MC=AC+AM=x+$\frac{1}{2}$．
在直角三角形BCM中，根據(jù)勾股定理得：
BC=$\sqrt{B{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$，
∵DF垂直平分BC，
∴B和C關(guān)于DF對稱，
∴HC=HB，
則HC+HG=BG，此時BG最小，
在直角三角形BCG中，
BG=BCcos30°=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{x}^{2}+3x+3}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)；（2）利用了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）①利用了直線與圓的位置關(guān)系；②利用了軸對稱-最短路線問題．