Question

13．如圖，O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）求∠ACB的度數(shù)；
（3）過O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件和圓周角定理易證△AEB≌△DEC；
（2）由（1）可知△AEB≌△DEC，進而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；
（3）由已知得出EF，BC的長，進而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．

解答 解：
（1）證明：在△AEB和△DEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AE=ED}\\{∠AEB=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
（2）∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°；
（3）作BM⊥AC于點M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC為等邊三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=$\frac{5}{2}$，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=AC-CM=$\frac{11}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=7．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出CM，BM的長是解題關鍵．