Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為6，求點(diǎn)A到CD所在直線的距離．

Answer 1

分析 （1）已知點(diǎn)C在⊙O上，先連接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DCO=90°即能判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系．
（2）要求點(diǎn)A到CD所在直線的距離，先作作AE⊥CD，垂足為E，由∠CDA=30°，得AE=$\frac{1}{2}$AD，在直角三角形OCD中，半徑OD=6，所以O(shè)D=2OC=12，AD=OA+0D=18．從而求出AE．

解答 解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
連接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=12，
AD=AO+OD=6+12=18，
在Rt△ADE中，
∵∠EDA=30°，
∴點(diǎn)A到CD邊的距離為：AE=$\frac{AD}{2}$=9．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)及30°角所對(duì)直角邊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．