Question

8．如圖1，四邊形ABCD的邊AD和△GEF的邊EF在同一條直線上，且點A與點F重合，在四邊形中，∠BAD=90°，BC∥AD，∠CDA=60°；在三角形中，∠EGF=120°，GE=GF=4，EF=2AD，現(xiàn)將△GEF以每秒$\sqrt{3}$個單位的速度沿射線AD方向平移，設(shè)平移時間為x秒．
（1）填空：S_△GEF=4$\sqrt{3}$；當(dāng)G點落在CD上時，x=$\frac{10}{3}$秒；
（2）當(dāng)△GEF運動到點E和點A重合時，便停止平移，平移過程中，將△GEF與四邊形ABCD重疊部分的面積記為S，請直接寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對應(yīng)的自變量取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)△GEF開始平移的同時，一動點P以每秒$\sqrt{3}$個單位的速度從點E沿射線EF方向運動，當(dāng)0＜x＜2時，GF與AB相交于點Q，請問在運動過程中，△FPQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出運動時間x的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先作高線GH，利用等腰三角形三線合一可知：GH也是底邊的中線，由頂角為120度，得兩個底角為30°，依次求出EF和GH的長，代入面積公式可求面積；
如圖2，當(dāng)G點落在CD上時，依次求出DG、DF、AD的長，移動的路程為AF，與速度的商就是時間x；
（2）分三種情況討論：①當(dāng)0≤x≤2時，如圖3，重疊部分的面積為△AFM的面積，②當(dāng)2＜x≤$\frac{10}{3}$時，如圖4，重疊部分的面積為五邊形GMADN的面積，利用面積差求重疊部分的面積；③當(dāng)$\frac{10}{3}$＜x≤4時，如圖5，重疊部分的面積為四邊形ADNM的面積，同理可求得面積；
（3）有兩種情況：
①如圖6，當(dāng)PQ=FQ時，△FPQ是等腰三角形，根據(jù)AP+EP+AF=EF列式求得x，②如圖7，當(dāng)FQ=PF時，△FPQ是等腰三角形，同理列式可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過G作GH⊥EF于H，
∵GE=GF，∠EGF=120°，
∴EH=FH，∠GEF=∠GFE=30°，
∵GE=4，
∴GH=$\frac{1}{2}$EG=2，
∴EH=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2EH=4$\sqrt{3}$，
∴S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF•GH=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$；
如圖2，當(dāng)G點落在CD上時，
在Rt△DGH中，tan∠ADC=tan60°=$\frac{GH}{DH}$，
∴DH=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ADC=60°，∠F=30°，
∴∠DGF=30°，
∴DG=DF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=AD+DF=$\frac{1}{2}$EF+DF=2$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{10}{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$；$\frac{10}{3}$秒；
（2）分三種情況討論：
①當(dāng)0≤x≤2時，如圖3，重疊部分的面積為△AFM的面積，
由題意得：AF=$\sqrt{3}$x，
在Rt△AFM中，∠GFE=30°，
tan30°=$\frac{AM}{AF}$，
∴AM=AF•tan30°=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=x，
∴S=S_△AFM=$\frac{1}{2}$AF•AM=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$；
②當(dāng)2＜x≤$\frac{10}{3}$時，如圖4，重疊部分的面積為五邊形GMADN的面積，
過N作NH⊥AD于H，
∵AF=$\sqrt{3}$x，
∴AE=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，F(xiàn)D=AF-AD=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
同（1）得：DN=FD=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
在Rt△AEM中，∠E=30°，
tan30°=$\frac{AM}{AE}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=4-x，
在Rt△DHN中，∠ADC=60°，
sin60°=$\frac{NH}{DN}$，
NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}x$-3，
∴S=S_△GEF-S_△AEM-S_△DFN=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）（4-x）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）（$\frac{3}{2}$x-3），
∴S=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$+7$\sqrt{3}$x-7$\sqrt{3}$；
③當(dāng)$\frac{10}{3}$＜x≤4時，如圖5，重疊部分的面積為四邊形ADNM的面積，
AE=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，AM=4-x，
∴ED=AD+AE=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，
∵∠E=30°，∠ADC=60°，
∴∠END=90°，
∴DN=$\frac{1}{2}$ED=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
cos30°=$\frac{EN}{ED}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=9-$\frac{3}{2}$x，
∴S=S_△END-S_△AEM，
=$\frac{1}{2}$DN•EN-$\frac{1}{2}$AE•AM，
=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）（9-$\frac{3}{2}$x）-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）（4-x），
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{11\sqrt{3}}{2}$；
綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}（0≤x≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+7\sqrt{3}x-7\sqrt{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{11\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)0＜x＜2時，△FPQ可以成為等腰三角形，
有兩種情況：
①如圖6，當(dāng)PQ=FQ時，△FPQ是等腰三角形，
∴∠QPF=∠QFP=30°，
∵AQ⊥FE，
∴AP=AF=$\sqrt{3}$x，
由題意得：EP=$\sqrt{3}$x，
∴AP=EP=AF=$\sqrt{3}$x，
則3$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$，
x=$\frac{4}{3}$；
②如圖7，當(dāng)FQ=PF時，△FPQ是等腰三角形，
AF=EP=$\sqrt{3}$x，
cos30°=$\frac{AF}{FQ}$，
∴FQ=$\frac{AF}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2x，
∴PF=2x，
∴EF=PE+PF，
∴$\sqrt{3}$x+2x=4$\sqrt{3}$，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=8$\sqrt{3}$-12，
綜上所述，當(dāng)△FPQ是等腰三角形時，運動時間x的值為$\frac{4}{3}$秒或（8$\sqrt{3}$-12）秒．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平移的幾何變換，本題比較復(fù)雜，首先要弄清動點運用的路線、速度、時間及路程，對于重疊部分面積的求法，要先找出特殊位置時所對應(yīng)的時間，分情況進行求解．