Question

20．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{3}{2}$，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)四邊形AMCO的面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式求得b的值，然后代入D的坐標(biāo)求得c的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；
（2）在二次函數(shù)解析式中令y=0，即可求得函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則A和B的坐標(biāo)即可求得；
（3）與AC平行，且與拋物線在第三象限只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，與拋物線的交點(diǎn)就是M，首先求得AC的解析式，然后設(shè)出滿足條件的解析式，利用判別式求得．

解答 解：（1）根據(jù)對(duì)稱軸可得-$\frac{2×\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$，
則b=$\frac{3}{2}$，
把（2，3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+c得：2+3+c=3，
解得：c=-2．
則拋物線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
（2）令y=0，則$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x=-4或1，
則A的坐標(biāo)是（-4，0），B的坐標(biāo)是（1，0）；
（3）$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2=0中令x=0，則y=-2，
則C的坐標(biāo)是（0，-2）．
設(shè)AC的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則直線AC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x-2．
設(shè)與AC平行，且與拋物線在第三象限只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，
則-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-2，
即x²+4x-（4+2b）=0，
△=16+4（4+2b）=0，
解得：b=-4．
則x=-2．
把x=-2代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2得y=-3．
則M的坐標(biāo)是（-2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確根據(jù)條件確定M的位置是關(guān)鍵．