Question

15．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，邊CD與⊙O相交于點(diǎn)E，連接AE，BE，∠DAE=∠ABE
（1）求證：AB=AC；
（2）若過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，求證：BH=CE+EH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據(jù)△ABH≌△ACF，得到答案．

解答 證明：（1）∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點(diǎn)A，
∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠AFE}\\{∠AEH=∠AEF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠ACF}\\{∠AHB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)證明相關(guān)的三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．