Question

10．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）設D為已知拋物線的對稱軸上任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式y(tǒng)=-x²-2x+3，令y=0求得x即可；
（2）設點D坐標為（-1，y_D），根據(jù)三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等，即可得出關于y_D含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論；

解答 解：（1）令y=0代入y=-x²-2x+3，
∴-x²-2x+3=0，
解得：x=1或x=-3，
∴A（-3，0），B（1，0）；

（2）如圖所示．

∵A（-3，0），B（1，0），
∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．
設AC交對稱軸x=-1于F（-1，y_F），
由點A（-3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，
∴y_F=-1+3=2，即F（-1，2）．
設點D坐標為（-1，y_D），
則S_△ADC=$\frac{1}{2}$DF•AO=$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[1-（-3）]×3=6，且S_△ADC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．=6，解得：y_D=-2或y_D=6．
∴點D的坐標為（-1，-2）或（-1，6）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，解題的關鍵是找出關于y_D含絕對值符號的一元一次方程．