Question

6．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)F，且∠CED=∠A．
（1）求證：AC=AF；
（2）在邊AB的下方畫∠GBA=∠CED，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DG，在圖中畫出圖形，并證明四邊形CDGB是矩形．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠CDE=∠ECD，∠CDE=∠AFC即可解決問(wèn)題．
（2）只要證明CG=BD，CE=EG，DE=EB即可．

解答 （1）證明：∵∠BCD=90°，DE=EB，
∴EC=ED=EB，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠A+∠DCE+∠AFC=180°，
又∵∠CED=∠A，
∴∠CDE=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AC=AF．

（2）解：圖象如圖所示．

∵∠CED=∠ABG，∠CED=∠A，
∴∠A=∠ABG，
∴AC∥BG，
∴∠ECD=∠BGE，
在△CED和△GEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠BGE}\\{∠CED=∠GEB}\\{DE=EB}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△GEB，
∴CE=EG，
∴CE=DE=EB，
∴CG=BD，CE=EG，DE=EB，
∴四邊形CDGB是平行四邊形，∵BD=CG，
∴四邊形CDGB是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．