Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動，設(shè)動點運動時間為t秒．
（1）求AD的長．
（2）當P、C兩點的距離為$\sqrt{29}$時，求t的值．
（3）動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發(fā)，且當點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在時刻t，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理建立方程求解即可；
（3）根據(jù)題意列出PD、MD的表達式解方程組，由于M在D點左右兩側(cè)情況不同，所以進行分段討論即可，注意約束條件．

解答 解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）AP=t，
∴PD=12-t，
在Rt△PDC中，PC=$\sqrt{29}$，CD=5，根據(jù)勾股定理得，PC²=CD²+PD²，
∴29=5²+（12-t）²，
∴t=10或t=14（舍）．
即：t的值為10s；

（3）假設(shè)存在t，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC．
∵BC=10，AD=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=60，
①若點M在線段CD上，
即 0≤t＜$\frac{5}{2}$時，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$（12-t）（5-2t）=$\frac{17}{2}$，
2t²-29t+43=0
解得t₁=$\frac{29+\sqrt{497}}{4}$（舍去），t₂=$\frac{29-\sqrt{497}}{4}$
②若點M在射線DB上，即 $\frac{5}{2}$＜t＜12．
由S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC
得 $\frac{1}{2}$（12-t）（2t-5）=$\frac{17}{2}$，
2t²-29t+77=0
解得 t=11或t=$\frac{7}{2}$
綜上，存在t的值為$\frac{29-\sqrt{497}}{4}$s或 11s或$\frac{7}{2}$s，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵為利用三角形性質(zhì)勾股定理以及分段討論，在解方程時，注意解是否符合約束條件．