Question

15．【問(wèn)題提出】如圖1．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在線段AB上．點(diǎn)E在直線BC上．且∠DEC=∠DCE．求證：BE=AD；
【類比學(xué)習(xí)】如圖2．將條件“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變．判斷線段AB、BE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【擴(kuò)展探究】如圖3．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在直線BC上，且∠DEC=∠DCE，【類比學(xué)習(xí)】中的線段AB、BE、BD之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，BE，BD之間的數(shù)量．

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質(zhì)得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結(jié)論；
（2）作DF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結(jié)論；
（3）作DF∥BC交CA的延長(zhǎng)線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：作DF∥BC交AC于F，如圖1所示：
則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC=120°}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；

（2）解：EB=AB+BD；理由如下：
作DF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，如圖2所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD，
∴EB=AB+BD；

（3）解：$\sqrt{3}$BE=3DB-3AB．
理由：作DF∥BC交CA的延長(zhǎng)線于F，如圖3所示，
則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC+∠DCE=180°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADF=∠AFD=∠ABC，
∵∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，∠FDC+∠DEC=180°，
∵∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠FDC=∠DEB，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CFD}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，DB=CF，
∵CF=AC+AF=AB+AF，
∴DB=AB+AF，
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF于G，
∵AF=AD，
∴DF=2FG，
在Rt△AFG中，∠AFG=90°-∠FAG=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
∴EB=DF=2FG=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EB
∴DB=AB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE，
即：$\sqrt{3}$BE=3DB-3AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．