Question

18．已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，過點B作BK⊥AC，垂足為K，過D作DH∥KB，DH分別與AC，AB，⊙O及CB的延長線相交于點E，F(xiàn)，G，H，且F是EG的中點．
（1）求證：點D在⊙O上；
（2）求證：F是AB的中點；
（3）若DE=4，求⊙O的半徑和△BFH的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對角線相等且平分的性質(zhì)得：OA=OD，所以點D在⊙O上；
（2）證明△AEF≌△BGF，則AF=BF；
（3）先在Rt△OED中，由勾股定理求⊙O的半徑為3$\sqrt{2}$；再利用勾股定理計算AD=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
AB=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，證明△AFD≌△BFH，可得S_△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH，代入計算即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=OC=OD=OB，
∵以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O，
∴點D在⊙O上；
（2）同理，點B也是⊙O上，
連接BG，
∵∠BAD=90°，
∴BD也是直徑，
∴∠BGD=90°，
∵BK⊥AC，BK∥DH，
∴∠GEK=90°，
∴BG∥AC，
∴∠FAE=∠FBG，
∵F是EG的中點，
∴EF=FG，
∵∠AFE=∠BFG，
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BF，
∴F是AB的中點；
（3）由（2）得：△AEF≌△BGF，
∴AE=BG，
∵OE⊥DG，
∴DE=EG=4，
∵OB=OD，
∴OE是△DGB的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$BG，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE，
設(shè)OE=x，則AE=2x，
∴OD=3x，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE²+ED²=OD²，
∴x²+4²=（3x）²，
x=$±\sqrt{2}$，
∴OD=3$\sqrt{2}$，即⊙O的半徑為3$\sqrt{2}$；
Rt△AED中，AE=2$\sqrt{2}$，ED=4，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
Rt△ABD中，BD=2OD=6$\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵AF=BF，∠AFD=∠BFH，∠DAF=∠ABH=90°，
∴△AFD≌△BFH，
∴BH=AD=2$\sqrt{6}$，
BF=AF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2\sqrt{6}$=6$\sqrt{2}$．

點評 本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，難度適中，本題多次運用勾股定理計算線段的長．