Question

10．已知函數(shù)y=mx²-3（m-1）x+2m-3
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，函數(shù)與x軸總有交點；
（2）若函數(shù)y=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，若函數(shù)是一次函數(shù)，則二次項系數(shù)為0即可；若函數(shù)是二次函數(shù)，則只要證明判別式△=b²-4ac恒大于0即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式對稱軸為y軸可得，對稱軸為x=-$\frac{2a}$=0，即可求得m的值．

解答 （1）證明：當m=0時，原方程可化為3x-3=0，解得x=1；
當m≠0時，
∵△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴對稱軸：x=$-\frac{2a}=-\frac{-3（m-1）}{2m}=0$，
即：3（m-1）=0，
解得：m=1．

點評 此題考查了一元二次方程根的情況以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．第（1）小題中，明確函數(shù)可能是一次函數(shù)也可能是二次函數(shù)，注意分類討論思想的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；第（2）小題，熟記二次函數(shù)的對稱軸是解決此題的關(guān)鍵，注意掌握方程思想的應(yīng)用．