Question

6．如圖，已知⊙P與x軸交于A和B（9，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相切與點(diǎn)C（0，3），作⊙P的直徑BD，過點(diǎn)D作直線DE⊥BD，交x軸于E點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線y=$\frac{15}{x}$上，則直線DE的解析式為y=$\frac{12}{7}$x+$\frac{30}{7}$．

Answer 1

分析 連接PC．AD，過P作PE⊥AB于E，根據(jù)已知條件得到OB=9，OC=3，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC⊥y軸，推出四邊形OEPC是矩形，得到PE=OC=3，求得P（5，3），得到PC=5，BD=10，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到D（1，6），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到E（-$\frac{7}{2}$，0），設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：連接PC．AD，過P作PE⊥AB于E，
∵C（0，3），B（9，0），
∴OB=9，OC=3，
∵⊙P與y軸的正半軸相切與點(diǎn)C，
∴PC⊥y軸，
∴四邊形OEPC是矩形，
∴PE=OC=3，
把y=3代入y=$\frac{15}{x}$得，x=5，
∴P（5，3），
∴PC=5，BD=10，
∵BD是⊙P的直徑，
∴AD⊥x軸，
∴PE∥AD，
∵P是BD的中點(diǎn)，
∴AD=6，
∴AB=8，
∴OA=1，
∴D（1，6），
∵DE⊥BD，
∴∠EDA+∠BDA=∠AED+∠EDA=90°，
∴∠AED=∠ADB，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，
∴E（-$\frac{7}{2}$，0），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{7}{2}k+b}\\{6=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$．
故答案為：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的問題，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．