Question

10．直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-$\sqrt{3}$，0），另一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C．
（1）求線段AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)M從B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)，速度為1秒一個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△ABM的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，S=$\frac{1}{2}$S_△ABC，（注：S_△ABC表示△ABC的面積），求出對(duì)應(yīng)的t值；
③當(dāng)t=4的時(shí)候，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）①根據(jù)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及運(yùn)動(dòng)速度，可得BM的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)值，可得∠B的大小，再根據(jù)正弦函數(shù)，可得MD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)等底三角形面積間的S=$\frac{1}{2}$S_△ABC的關(guān)系，可得MD=$\frac{1}{2}$OB，可得答案；
③根據(jù)題意，分三種情況：①點(diǎn)P在x軸上時(shí)；②點(diǎn)P在y軸上，且BP為斜邊時(shí)；③點(diǎn)P在y軸上，且BP為另一條直角邊時(shí)；然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分類(lèi)討論，求出P點(diǎn)坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3=0，解得x=3$\sqrt{3}$，即B（3$\sqrt{3}$，0）
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）
設(shè)線段AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，圖象經(jīng)過(guò)A、C點(diǎn)，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故線段AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=$\sqrt{3}$x+3；

（2）如圖1，
①由動(dòng)點(diǎn)M從B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)，速度為1秒一個(gè)單位長(zhǎng)度，行駛t秒，得BM=t，
由線段的和差，得AB=3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$，
由正切函數(shù)，得tan∠B=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠ABC=30°，
由正弦函數(shù)，得MD=BM•sin∠ABC=$\frac{1}{2}$t．
由三角形面積公式，得S=$\frac{1}{2}$AB•MD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×4$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$t
即S=$\sqrt{3}$t；

②由S=$\frac{1}{2}$S_△ABC，得MD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$t=$\frac{3}{2}$，解得t=3，
當(dāng)t=3時(shí)，S=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

③如圖2：當(dāng)t=4時(shí)，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形，

Ⅰ、如圖2，
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴當(dāng)t=4時(shí)，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠PMB=90°，
∴BP=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴OP=OB-BP=3$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．



Ⅱ、如圖3，PM和AB相交于點(diǎn)N，，
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴當(dāng)t=4時(shí)，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠NMB=90°，
∴BN=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴ON=OB-BN=3$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠MNB=90°-30°=60°，∠ONP=∠MNB，
∴∠ONP=60°，
∴OP=ON•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1）．

Ⅲ、如圖4，，
∵OC=3，∠ABC=30°，∠BOC=90°，
∴BC=2×3=6，∠PCB=90°-30°=60°，
又∵∠PBC=90°，
∴∠BPC=90°-60°=30°，
∴CP=2BC=2×6=12，
∴OP=CP-OC=12-3=9，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-9）．
綜上，可得
當(dāng)t=4時(shí)，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）、（0，-1）或（0，-9）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分析推理能力，還考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握．