Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（-4，0），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段FE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求得直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t-1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-t²-2t+3），然后列出EF關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；
（3）過(guò)點(diǎn)F作直線a⊥EF，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″，先求得點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而可求得點(diǎn)P、P′、P″的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（-4，0），
∴AC=5．
∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=5．
∴B（-4，-5）．
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-16-4b+c=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）如圖1所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-4k+b=-5}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-1．
所以直線AB的解析式為y=x-1．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t-1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-t²-2t+3）．
∴EF=-t²-2t+3-（t-1）=-t²-3t+4=（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$．
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，F(xiàn)E取最大值$\frac{25}{4}$，此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）存在點(diǎn)P，能使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形．
理由：如圖所示：過(guò)點(diǎn)F作直線a⊥EF，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″．

由（2）可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t-1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-t²-2t+3），t=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）、F（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
①當(dāng)-t²-2t+3=$\frac{15}{4}$時(shí)，解得：x=-$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
②當(dāng)-t²-2t+3=-$\frac{5}{2}$時(shí)，解得：x=-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$或x=-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
∴點(diǎn)P′（-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$），P″（-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）或（-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或P″（-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，列出EF的長(zhǎng)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．