Question

13．平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2過點A（-3，0）、B （1，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，點G在拋物線上且其縱坐標為2．
（1）a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，D（-1，$\frac{8}{3}$）．
（2）P是線段AB上一動點（點P不與A、B重合），點P作x軸的垂線交拋物線于點E．
①若PE=PB，試求E點坐標；
②在①的條件下，PE、DG交于點M，在線段PE上是否存一點N，使得△DMN與△DCO相似？若存在，試求出相應點的坐標；
③在①的條件下，點F是坐標軸上一點，且點F到EC、ED的距離相等，試直接寫出EF的長度．

Answer 1

分析 （1）先求得點C（0，2），設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點C的坐標代入可求得a的值，然后可得到拋物線的解析式，利用拋物線的頂點坐標公式可求得D的坐標
（2）①設P（x，0），則E（x，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2），則PB=1-x，PE=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，然后依據(jù)PE=PB列方程求解即可；②過點G作GH⊥x軸，垂足為H，連結DH，先求得點G和點H的坐標以及拋物線的對稱軸方程，從而可知△DOC與△DHG關于直線x=-1對稱，要使DMN與△DCO相似，只需△DMN與△DGH相似．然后證明△DMN∽△DGH，接下來再求得直線DH的解析式，由直線DH的解析式可求得點N的坐標；③過點E作EF⊥y軸，交拋物線的對稱軸與點G，則G（-1，$\frac{5}{2}$）過點E作EF′⊥x垂足為F′，先證明EF和EF′分別為∠DEC和∠HEC的角平分線，則EF和EF′到EC、ED的距離相等，由點E的坐標可求求得EF和EF′的長即可．

解答 解：（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=2，
∴C（0，2）．
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點C的坐標代入得-3a=2，解得：a=-$\frac{2}{3}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x+3）（x-1）=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
∴b=-$\frac{4}{3}$．
∴x=-$\frac{2a}$=-1．
當x=-1時，y=$\frac{8}{3}$．
∴D（-1，$\frac{8}{3}$）．
故答案為：-$\frac{2}{3}$；-$\frac{4}{3}$；-1，$\frac{8}{3}$．

（2）①設P（x，0），則E（x，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2），則PB=1-x，PE=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
∵PE=PB，
∴-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=1-x．
∴x₁=1（舍去），x₂=-$\frac{3}{2}$．
當x=-$\frac{3}{2}$，函數(shù)值y=$\frac{5}{2}$．
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
②存在點N（-$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$），理由如下：過點G作GH⊥x軸，垂足為H，連結DH．

把y=2代入拋物線的解析式得：2=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，解得x=0或x=-2．
∴G（-2，2）．
拋物線的對稱軸為x=-1，
∵GH⊥x軸，
∴H（-2，0）．
∴△DOC與△DHG關于直線x=-1對稱．
∴要使DMN與△DCO相似，只需△DMN與△DGH相似．
∵MN∥GH，
∴△DMN∽△DGH．
設直線DH的解析式為y=kx+b，將點H和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{-k+b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{8}{3}$，b=$\frac{16}{3}$．
∴直線DH的解析式為y=$\frac{8}{3}$x+$\frac{16}{3}$．
將x=-$\frac{3}{2}$代入得：y=$\frac{4}{3}$．
∴N（-$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$）．
③如圖2所示：過點E作EF⊥y軸，交拋物線的對稱軸與點G，則G（-1，$\frac{5}{2}$）過點E作EF′⊥x垂足為F′．

設直線EC的解析式為y=mx+n將點E和點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{-\frac{3}{2}m+n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=2．
∴直線EC的解析式為y=$-\frac{1}{3}$x+2．
當x=-1時，y=$\frac{7}{3}$．
∴DG=GM．
∴點M與點D關于EF對稱．
∴EF是∠DEC的角平分線．
∴點F到點F到EC、ED的距離相等．
∴EF=$\frac{3}{2}$．
∵EF′⊥x垂足為F′．
∴∠FEF′=90°，
∴∠DEF+∠HEF′=90°，∠FEC+∠CEF′=90°．
又∵∠DEF=∠FEC，
∴∠HEF′=∠CEF′．
∴EF′是∠HEC的平分線，
∴點F′到DE和EC的距離相等．
∴EF′=$\frac{5}{2}$．
綜上所述，EF的長為$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，利用直線DH的解析式求得點N的坐標是解答問題（2）的關鍵，證得EF和EF′分別為∠DEC和∠HEC的角平分線是解答問題（3）的關鍵．