Question

6．如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）在拋物線上求一點Q，使得△ACQ為等腰三角形，并寫出Q點的坐標(biāo)；
（4）除（3）中所求的Q點外，在拋物線上是否還存在其它的點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點Q（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點Q，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點A和點B的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點B的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）拋物線的對稱軸為x=1．設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，a），分為AB=AP、BA=BP、AP=BP三種情況，然后結(jié)合兩點間的距離公式列方程求解即可；
（3）當(dāng)點Q在AC的垂直平分線上時，QA=QC，即點Q為拋物線的頂點；
（4）由（3）可知當(dāng)Q為拋物線的頂點時，△AQC為等腰三角形；以A為圓心，以AC長為半徑作⊙A，⊙A交拋物線與Q₁、Q₂、Q₃，以C為圓心，AC長為半徑作⊙C，交拋物線與點Q₄、Q₅、Q₆，依據(jù)圖形可得到問題的答案．

解答 解：（1）令x=0得：y=3，
∴B（0，3）．
令y=0得：3x+3=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點B的坐標(biāo)代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）拋物線的對稱軸方程為x=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，a）．
當(dāng)AB=AP時，$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（a-0）^{2}}$，整理得：10=4+a²，解得a=±$\sqrt{6}$
∴P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
當(dāng)BA=BP時，$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3-a）^{2}}$，整理得：10=1+（3-a）²，解得：a=0或a=6，
∴P（1，0）或（1，6）．
當(dāng)AP=BP時，$\sqrt{（-1-1）^{2}+（a-0）^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3-a）^{2}}$，整理得：6a=6，解得a=1，
∴P（1，1）．
綜上所述：點P的坐標(biāo)為P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或P（1，0）或（1，6）或P（1，1）．
（3）當(dāng)點Q在AC的垂直平分線上時，則QA=QC．
由拋物線的對稱性可知：此時點Q為拋物線的頂點．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴Q（1，4）．
（4）當(dāng)QA=QC，時，拋物線的頂點即為所求的點Q．
如圖所示：以A為圓心，以AC長為半徑作⊙A，⊙A交拋物線與Q₁、Q₂、Q₃，以C為圓心，AC長為半徑作⊙C，交拋物線與點Q₄、Q₅、Q₆．

由圓的性質(zhì)可知：△ACQ₁、△ACQ₂、△ACQ₃、△ACQ₄、△ACQ₅、△ACQ₆均為等腰三角形．
∴符合題意的點Q共有7個．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分為討論是解答問題（2）的關(guān)鍵；作出⊙A和⊙C依據(jù)圓的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)判定出點Q的個數(shù)是解答問題（3）的關(guān)鍵．