Question

15．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，連接PA、PB、PC、PD，∠BPC=105°，PC=2，PB=2$\sqrt{2}$，則△APD的面積為$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先將△BCP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE，連接PE，過(guò)點(diǎn)A作AP'⊥PE于P'，過(guò)P作PF⊥BC于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，得出△APE為等腰直角三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出△CFP為等腰直角三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得AD以及DF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到△APD的面積．

解答 解：如圖所示，將△BCP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE，連接PE，過(guò)點(diǎn)A作AP'⊥PE于P'，過(guò)P作PF⊥BC于F，
根據(jù)PC=EC，∠PCE=60°可得，△PCE為等邊三角形，
∴AE=BP=2$\sqrt{2}$，
∵∠AEC=∠BPC=105°，
∴∠AEP=105°-60°=45°，
∴Rt△AEP'中，P'E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=2，
又∵PE=PC=2，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合，
∴∠APE=90°，△APE為等腰直角三角形，
∴AP=PE=PC，
∴△BP≌△CBP，
∴∠CBP=∠ABP=30°，
∴∠BCP=180°-30°-105°=45°，
∴△CFP為等腰直角三角形，
∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\sqrt{2}$=CF，
∴Rt△BFP中，BF=$\sqrt{B{P}^{2}-P{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=CD-CF=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
又∵Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$BD=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴△APD的面積=$\frac{1}{2}$×AD×DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰直角三角形，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得線段的長(zhǎng)，進(jìn)而得出三角形的面積．