Question

2．如圖，在長方形ABCD中，AD=8cm，CD=4cm．
（1）若點P是邊AD上的一個動點，當P在什么位置時，PA=PC？
（2）在（1）的條件下，Q是邊AB邊上的一個動點，當QP與PC垂直時，試確定點Q的位置．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）證明△APQ∽△DCP，得出對應邊成比例，求出AQ的長即可．

解答 解：（1）如圖1所示：
設PA=PC=xcm，則PD=（8-x）cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴CD²+PD²=PC²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴當AP=5cm時，PA=PC；
（2）如圖2所示；
由（1）得：AP=5cm，PD=3cm，
∵QP⊥PC，∠A=∠D=90°，
∴∠APQ=∠DCP，
∴△APQ∽△DCP，
∴$\frac{AQ}{PD}=\frac{PA}{CD}$，即$\frac{AQ}{3}=\frac{5}{4}$，
解得：AQ=$\frac{15}{4}$，
即當QP與PC垂直時，AQ=$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，由勾股定理求出PA是解決問題的關鍵．